Zaczniemy od zająca Z, który beztrosko biega w koło, po łące. Właściwie nie biega, lecz skacze (kica). Jego trasa, zależna od p, q, r, zaczyna się w Z0. Po T susach zając wraca do Z0 i dalej skacze już po własnych śladach - jego ruch jest okresowy. Na poniższym dynamicznym rysunku zobaczysz pierwsze n skoków zająca. Dla p = q = 0 jest to ruch po okręgu o promieniu r, a raczej po wielokącie foremnym wpisanym w ten okrąg (liczbę boków zmienisz parametrem T).
Zająca goni wilk W.
Startuje z W0 i sadzi susami wprost za zającem z prędkością s razy mniejszą.
Dokładniej: w każdym skoku (np. z punktu Wk) kieruje się prosto na zająca (będącego aktualnie w Zk). Długość skoku wilka jest s-tą częścią długości aktualnego skoku zająca:
s . ZkZk+1).
Wilk na ogół nie łapie zająca. A nawet gdy złapie (a to wyjątkowa sytuacja), to i tak mu nic nie zrobi, bo ta bajka dobrze się kończy, a właściwie się nie kończy, bo biegną dalej, i dalej... Na rysunku pokazano tylko początkowy etap gonitwy (n
9).
Proponujemy kilka ćwiczeń dotyczących powyższego rysunku:
Ćwiczenie 1.
Znajdź takie położenie W0, przy którym
W1 = Z0. Jest ich wiele. Jaki tworzą zbiór?
Ćwiczenie 2.
Znajdź takie położenie W0, przy którym
W1 = Z1.
Wskazówka. Jest tylko jedno takie położenie.
Ćwiczenie 3.
Znajdź takie położenie W0, przy którym
W2 = Z1. Czy jest tylko jedno takie położenie?
Ćwiczenie 4.
Znajdź takie położenie W0, przy którym
W2 = Z2. Czy jest tylko jedno takie położenie?
Dalej będziemy badać tor ruchu wilka, zwany krzywą pogoni.
Na poniższym rysunku można ustawić n = T.
Widać wtedy jeden okres ruchu zająca, czyli
punkty od Z0 do ZT = Z0
oraz część krzywej pogoni: punkty od W0 do
WT.
Znajdź takie położenie W0, przy którym wilk wróci do punktu startu, czyli gdy
WT = W0 .
Sprawdź (empirycznie), że jest tylko jedno takie położenie, nazwijmy je W0*.
Przy takim położeniu ruch wilka jest okresowy - dalej będzie biegł po własnych śladach - dlaczego?
W przypadku p = q = 0, gdy zając skacze po wierzchołkach wielokąta foremnego Z0Z1...ZT-1, wilk, startując ze szczególnego punktu W0*, skacze też okresowo, też po wierzchołkach wielokąta foremnego, podobnego do trajektorii Z0Z1...ZT-1 ruchu zająca. Sprawdź. (Zmieniaj T, s.)
Zadanie 5.
Niech zając skacze po wierzchołkach kwadratu o boku 1 (p = q = 0, T = 4). Podaj konstrukcję punktu W0*, gdy s = 0,5.
Zadanie 6.
Niech zając skacze po wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku 1 (p = q = 0, T = 6). Podaj konstrukcję punktu W0*, gdy s = 0,25.
Zadanie 7**.
Niech zając skacze po wierzchołkach T-kąta foremnego o boku 1 (p = q = 0). Znajdź wzór opisujący miarę kąta
W0*Z0Z1, gdy s < 1.
Zobaczyliśmy poprzednio, że jest jeden szczególny punkt startu W0*, przy którym ruch wilka jest okresowy. A jaki jest ruch wilka dla innych punktów startowych?
Zobaczysz to na poniższym rysunku. Masz do dyspozycji dwa wilki
W i W', możesz zobaczyć n < 400 początkowych susów.
Co widać?
Można poczynić wiele obserwacji.
Przy bardzo dużych n, przesuwając W0, wydaje się, że coraz dalsze ślady wilka coraz mniej się poruszają, wydają się nieruchome, prawie niezależne od W0.
Zwiększając n widzimy, że wilki W i W' biegną coraz bliżej.
Ustaw najpierw n = T. Przesuń W0 tak, by pokryło się z WT, czyli do punktu W0*. Teraz zwiększaj n. Co widzisz? Ruch wilka W' jest coraz bardziej zgodny jest z ruchem okresowym wilka W. Zmieniaj pozycję startową W0'. Można zauważyć poniższe twierdzenie.
TWIERDZENIE.
Gdy zając biega okresowo, to krzywa pogoni (niezależnie od punktu startu) z upływem czasu coraz bardziej przypomina ruch okresowy wilka startującego z punktu W0*.
Innymi słowy, gdy zając biega okresowo, to sfora goniących go wilków, po pewnym czasie biegnie niemal okresowo tak, jak jeden wilk startujący z W0*.
Uwaga 1.
Aby sprecyzować powyższe twierdzenie, trzeba znać kilka pojęć z matematyki wyższej.
Dla dowodu wystarczy uzasadnić, że:
istnieje taka stała c < 1,
że dla dowolnych dwóch pozycji startowych W0,
W0' mamy:
Uwaga 2.
Na poniższym rysunku widać, że
Można całkiem elementarnie pokazać (choć to nie jest typowe szkolne zadanie), że:
Uwaga 3.
Dla dużego T ruch zająca i wilków przypomina ruch płynny, bez skoków. W matematyce wyższej mówi się, że jest on 'ciągły'. Jeśli przyjmiemy, że zając i wilki poruszają się w sposób ciągły, to zagadnienie opisania krzywej pogoni jest dość trudnym problemem.
Nawet w przypadku, gdy zając porusza się jednostajnie prostoliniowo, aby znaleźć krzywą pogoni, należy rozwiązać dość skomplikowane równanie różniczkowe (tzn. zawierające pochodne funkcji). Sama odpowiedź ma też skomplikowaną postać.
W przypadku innych ruchów zająca dokładny opis krzywej pogoni
może po prostu nie istnieć. Pozostają wtedy metody przybliżone. Jakie? Mniej więcej takie, jak zaprezentowane na powyższych rysunkach. Studenci matematyki powinni zauważyć na nich metodę iteracyjną Eulera rozwiązania pewnego równania różniczkowego (jakie to równanie?).
Uwaga 4.
Można zapytać, po co ta cała zabawa. Czy ma jakieś zastosowanie praktyczne? Odpowiemy wykrętnie. Wiele rzeczy w przyrodzie i technice przypomina gonitwę. Warto wiedzieć, co się dzieje,
gdy obierzemy opisaną wyżej strategię pościgu (która przy pewnych założeniach okazuje się optymalną).
Uwaga 5. O strategiach pościgu i krzywych pogoni pisał Hugo Steinhaus w książce 'Kalejdoskop matematyczny'. Warto przeczytać.
