Siatki wielościanów Catalana

Data ostatniej modyfikacji:
2008-09-5

Wielościany Catalana są dualne do wielościanów archimedesowych i dlatego też w danym wielościanie Catalana wszystkie ściany są przystające (bo układ ścian przy każdym wierzchołku w odpowiadającym mu wielościanie archimedesowym jest identyczny). Ściany te jednak nie są wielokątami foremnymi, dlatego też warto poświęcić kilka zdań na temat sposobu ich konstrukcji. Opiszemy ją na przykładzie wielościanu dualnego do czworościanu ściętego - czworościanu potrójnego. Rozważmy jeden z wierzchołków czworościanu ściętego i zaznaczmy na każdej wychodzącej z niego krawędzi punkt leżący w ustalonej odległości od tego wierzchołka. Punkty te wyznaczają przekrój wielościanu, który nazywamy figurą wierzchołkową. Przykład takiego przekroju pokazuje rys. 1 ("ustalona odległość" w tym wypadku to długość krawędzi wielościanu).

Rys. 1 Rys. 2

Figura wierzchołkowa jest trójkątem równoramiennym ABC, w którym AB jest krawędzią wielościanu, a BC i AC są krótszymi przekątnymi sześciokątów będących ścianami tej bryły. Opiszmy na trójkącie ABC okrąg i poprowadźmy styczne do tego okręgu w punktach A, B oraz C (rys. 2). Styczne wyznaczają trójkąt KLM, który jest właśnie ścianą wielościanu dualnego do czworościanu ściętego. Układ ścian w wierzchołku czworościanu ściętego to "3,6,6" i dlatego też czworościan potrójny, jako wielościan dualny do niego oznacza się symbolem V3,6,6.

W analogiczny sposób można wyznaczyć ściany wszystkich pozostałych wielościanów Catalana.

Liczba ścian w niektórych wielościanach Catalana oraz ich kształt (np. 120 niemal prostokątnych trójkątów) powoduje, że trudno jest przygotować ich siatki tak, aby mieściły się one na formacie A4. Dlatego też poniżej można znaleźć pełne siatki tylko dziewięciu wielościanów z tej rodziny. Dla wszystkich jednak zamieszczamy fragment siatki oraz informację o liczbie elementów potrzebnych do wykonania całego modelu. Dwa wielościany Catalana V3,3,3,3,4 oraz V3,3,3,3,5 (podobnie jak ich archimedesowe odpowiedniki) istnieją w wersjach lewo- i prawoskrętnej. Wersje te mają się tak do siebie, jak lewa dłoń do prawej.

Czworościan potrójny V3,6,6