Zad. 1. Na odcinku AB obrano punkt P i zbudowano okręgi o średnicach AP i PB. Sieczna AK pierwszego okręgu jest styczna w punkcie C do drugiego okręgu. Prosta CP przecina pierwszy okrąg w punkcie L. Wiedząc, że |AK|=5 i |KC|=25, oblicz pole trójkąta LBP.
Zad. 2. W kwadrat ABCD wpisano trójkąt równoboczny ABE. Prosta CE przecina bok AD w punkcie F. Wiedząc, że |FE|=6, oblicz pole trójkąta FCD.
Zad. 3. Niech M będzie środkiem boku BC kwadratu ABCD, a AH - wysokością trójkąta AMD. Wiedząc, że |HB|=8, oblicz pole kwadratu.
Zad. 4. (wolna amerykanka) Dany jest kwadrat ABCD. Na boku CD obrano punkt F, a na prostej AB - punkt E takie, że trójkąt AEF jest równoboczny. Proste BC i EF przecinają się w punkcie K. Oblicz miarę kąta KAE.
Zad. 1.
Zauważmy, że czworokąt ALBC jest trapezem bo kąty ALC i LCB są proste jako oparte na średnicach AP i PB. Zauważmy dalej, że SLPB=SLBC-SPBC=SABC-SPBC=SAPC. Wystarczy zatem obliczyć SAPC. Z tw. Talesam mamy AK/KC = AD/PO = 1/5. Oznaczmy AP=d. Wówczas PO=5d i PB=10d. Z tw. o stycznej i siecznej mamy AC2=AP·AB skąd otrzymujemy równanie 900=11d2 i d2=900/√11. Z tw. Pitagorasa w trójkącie APK mamy PK=25/√11. Ostatecznie SLPB=SAPB= 375/√11.
Zad. 2.
Z założenia trójkąt EBC jest równoramienny przy czym <EBC=30° oraz <ECB=75° skąd <FCD=15°. Niech punkt G będzie symetrycznym do F względem wierzchołka D. Wówczas trójkąty FCD i DCG są przystające skąd <FCG=30° oraz FC=CG. Łatwo zauważyć, że FC=2FE=12. Niech GH będzie wysokością w trójkącie FCG. Wówczas z trójkąta "ekierkowego" HCG mamy GH=GC/2=6. Ostatecznie SFCD=SFCG/2=18.
Zad. 3
Przedłużmy odcinek DM do przecięcia się z prostą AB w punkcie E. Trójkąty BEF i MCD są przystające (cecha kbk)Oznaczmy AB=x, wówczas BE=x i z F2 (środkowa przeciwprostokątnej jest od niej dwa razy krótsza) w trójkącie AEH mamy x=8. Ostatecznie SABCD=64.
Zad. 4
Niech AH będzie wysokością w trójkącie AEF. łatwo zauważyć, że trójkąty AFD i AHF są przystające przy czym AH=AD i <DAF=<FAH=30° skąd <HAB=30°. Zauważmy teraz przystawanie trójkątów prostokątnych ABK i AKH bo mają wspólną przeciwprostokątną AK i równe przyprostokątne AH i AB. Oznacza to, że <BAK=15°
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
