Zad. 1. Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c są dodatnie, to [tex]a+b+c leq frac{a^4 + b^4 + c^4}{abc}[/tex].
Zad. 2. Na trójkącie ABC opisano okrąg i na krótszym łuku BC obrano punkt D tak, by odcinek AD leżał na dwusiecznej kąta BAC. Wykaż, że 2|AD| > |AB| + |AC|.
Zad. 3. Na płaszczyźnie dane są cztery figury wypukłe. Przekrój każdych trzech z nich jest niepusty (tzn. każde trzy mają punkt wspólny). Udowodnij, że istnieje punkt wspólny wszystkich czterech figur.
W tym miesiącu 10 punktów zdobył Jan Kropidłowski - III LO Wrocław.
Zad. 1. Korzystamy z uogólnionego twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych (dla trzech ciągów {a2, b2, c2}, {a, b, c}, oraz {a, b, c}). Otrzymujemy a2bc + ab2c + abc2 ≤ a4 + b4 + c4. Po podzieleniu przez abc otrzymujemy tezę.
Zad. 2. Z twierdzenia Ptolemeusza mamy: |AB|·|DC| + |AC|·|DB| = |BC|·|AD|. Skoro AD jest dwusieczną kąta BAC, to |BD| = |CD|. Zachodzi więc |BD| (|AB|+|AC|) = |BC|·|AD|. Z nierówności trójkąta |BC| < |BD|+|CD| = 2|BD|. Łącząc te dwa fakty, otrzymujemy
|BD|(|AB|+|AC|) = |BC|·|AD| < 2|BD|·|AD|, czyli |AB|+|AC| < |AD|, co należało wykazać.
Zad. 3. Oznaczmy przez P1 punkt będący elementem przekroju zbiorów A2, A3, A4, przez P2 - punkt będący elementem przekroju zbiorów A1, A3, A4, itd. Otoczka wypukła punktów P1, P2, P3, P4 to albo czworokąt, albo trójkąt, albo prosta, o czym łatwo się przekonać z definicji otoczki. Rozważmy kolejno te przypadki.
i) Jeżeli jest to czworokąt, to odcinek P1P4 zawiera się w przekroju A2 i A3. Niech X będzie punktem przecięcia przekątnych czworokąta P1P2P3P4. Wówczas X należy do przekroju A2 i A3. Analogicznie rozumując dla drugiej przekątnej otrzymujemy, że X należy do przekroju A1 i A4. Znaleźliśmy więc punkt w przekroju wszystkich czterech zbiorów Ai.
ii) Jeżeli jest to trójkąt, to bez straty ogólności możemy założyć, że jest nim P1P2P3, a punkt P4 leży w jego wnętrzu. Wtedy niech X będzie punktem przecięcia prostej P3P4 z bokiem P1P2. Należy pokazać, że bok ten zawiera się w przekroju A3 i A4, a skoro XP3 zawiera się w A4, to P4 jest punktem w przekroju wszystkich czterech oryginalnych zbiorów.
iii) Jeżeli jest to prosta, to bez straty ogólności możemy założyć, że przebiega ona kolejno (w pewnym kierunku) przez punkty P2, P1, P3, P4. Wówczas odcinek P1P3 zawiera się w przekroju A2 i A4, ale zawiera się on również w odcinku P2P4, który z kolei zawiera się w przekroju A1 i A3. Zatem odcinek P1P3 zawiera się w przekroju wszystkich czterech oryginalnych zbiorów.
