Miniatury matematyczne dla LO

To seria książek zawierających krótkie artykuły popularnonaukowe opracowane z myślą o uczestnikach popularnego międzynarodowego konkursu Kangur matematyczny. Ich tematy mają korzenie w matematyce szkolnej, ale zawartość wybiega poza program nauczania. Mogą być inspiracją dla uczniowskich prac badawczych lub tematem zajęć szkolnych seminariów, kółek matematycznych lub obozów naukowych. Ich głównym celem jest rozwijanie zainteresowań i pogłębianie wiedzy matematycznej. Są napisane przystępnie, w sposób sposób przyjazny dla ucznia.

Co rok ukazuje się jedna książka dla każdej kategorii wiekowej. Ich numeracja jest ciągła, a ponieważ w latach 2001-2011 seria obejmowała także pozycje dla SP i GM, stąd książki z tego okresu przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych mają numery dające resztę 2 z dzielenia przez 3. Od 2012 w związku z pojawieniem się czwartego typu miniatur w corocznym zestawie (dla klas I-III SP) numeracja przesunęła się i od numeru 39 obowiązuje zasada "reszta 3 z dzielenia przez 4".

Poniżej zamieszczamy opisy poszczególnych książek z serii. Będziemy je systematycznie uzupełniać.

Miniatura 5. Wartość bezwzględna, teoria reszt i wielokąty kratowe

Początkowe eseje dotyczą wartości bezwzględnej. Pierwszy ma charakter elementarny i jest adresowany do uczniów, którzy mają kłopot ze zrozumieniem tego pojęcia, a drugi jest bardziej zaawansowany i wykracza poza standardowe zadania szkolne. Trzecia miniatura dotyczy wykorzystania reszt do rozwiązywania niebanalnych problemów z teorii liczb, a ostatnia wprowadza w świat niekonwencjonalnych konstrukcji geometrycznych i wielokątów kratowych. Rozwiązywanie tego typu problemów wymaga dużej spostrzegawczości i inteligencji, ale dostarcza w zamian ogromnej satysfakcji.

Uwaga! W numerację "Miniatur" wkradł się w tym miejscu błąd. Istnieje też inna książeczka z numerem 5 przeznaczona dla gimnazjalistów i poświęcona elementarnym zadaniom z teorii gier i konstrukcji geometrycznych.

Miniatura 8. Elementarne metody w kombinatoryce

Kompendium wiedzy z kombinatoryki zawierające zarówno podstawowe wiadomości - pojęcia i twierdzenia jak np. trójkąt Pascala, dwumian Newtona, reguła odrywania - zilustrowane licznymi przykładami jak i obszerny zbiór zadań z rozwiązaniami (niektóre zadania rozwiązane są kilkoma sposobami). Zadania podzielono na działy w zależności od zagadnienia, jakiego dotyczą lub metody ich rozwiązania. Znajdziemy tu zatem zadania geometryczne, zadania o rozkładach liczb na składniki, o rozmieszczeniu kul w urnach, a także rozwiązywane metodą rekurencji, metodą zliczania na dwa sposoby lub metodą dróg na kracie. Jednym słowem książka pokazuje siłę metod kombinatorycznych i ich użyteczność do rozwiązywania szerokiego wachlarza rozmaitych problemów.

Miniatura 11. Wielokąty foremne i półforemne. O liczbach niewymiernych. O cyklicznych układach równań

Książka opisuje pojęcia dobrze znane uczniom szkoły średniej, takie jak wielokąty foremne, liczby niewymierne i układy równań, ale poprzez odpowiedni dobór problemów, pokazuje je w nowym świetle. W pierwszej części badane są własności i konstrukcje wielokątów foremnych oraz półformenych wpisanych w okrąg. W części drugiej badane są ciekawe własności liczb wymiernych i niewymiernych oraz przeprowadzane śa dowody niewymierności równych liczb. Ostatnia część dotyczy różnych metod rozwiązywania pewnego typu układów równań, które często pojawiają się w zadaniach konkursowych.

Miniatura 14. Funkcja kwadratowa. Liczba pi

Książka składa się z trzech artykułów. Pierwszy dotyczy własności funkcji kwadratowej, także tych nieznanych ze szkoły. Drugi omawia historię poznawania i badania własności najsłynniejszej liczby niewymiernej - pi (wraz z dowodem jej niewymierności). Trzeci pokazuje bliskie powiązania między odległymi z pozoru działami matematyki jakimi są geometria i algebra. Pokazano to rozwiązania zadań algebraicznych metodami geometrycznymi, wektoriwymi i trygonometrycznymi.

Miniatura 17. Liczby sprzężone. Zabawy z cieniem. Środek ciężkości w geometrii

Pierwszy tekst mówi o niewymiernych liczbach sprzężonych i pokazuje ich zastosowanie do rozwiązywania zadań z arytmetyki i geometrii. Wprowadza też pojęcie liczby złotej i liczb Fibonacciego oraz pokazuje związki między nimi. Drugi esej zaczyna się powtórką dobrze znanych ze szkoły przekształceń płaszczyzny i przez własności perspektywy przechodzi do podstawowych twierdzeń geometrii rzutowej, pokazując przy okazji historię ich odkrywania. W trzecim tekście wprowadzone jest pojęcie środka ciężkości układu punktów, które potem jest wykorzystywane do rozwiązywania w prosty sposób typowych i niestandardowych zadań z geometrii szkolnej.

Miniatura 20. O współrzędnych biegunowych. Niewykonalne konstrukcje

Książka zawiera dwa artykuły. Pierwszy zapoznaje czytelnika z biegunowym układem współrzędnych, zawiera przykłady krzywych, których równania można prosto zapisać w tym układzie. Zawarte tam informacje ułatwiają czytanie drugiego artykułu poświęconego niewykonalnym konstrukcjom geometrycznym. Przedstawia on genezę i rolę trzech sławnych problemów starożytności: kwadratury koła, trysekcji kąta i podwojenia sześcianu. Na koniec okazuje się, że te konstrukcje można jednak przeprowadzić, o ile dysponuje się odpowiednimi narzędziami (nie tylko cyrklem i linijką). Może to być dobry wstęp do zgłębiania wiedzy z zakresu geometrii różniczkowej.

Miniatura 23. Część całkowita liczby. O pewnych równaniach kwadratowych. Moment bezwładności

Książka zawiera trzy teksty dotyczące dwóch ważnych pojęć matematycznych. Pierwsze z nich to część całkowita liczby rzeczywistej, która jest często wykorzystywana w informatyce, teorii informacji i technologiach komputerowych. Pojęcie drugie to moment bezwładności. Mimo że ma pochodzenie fizyczne, doczekało się ścisłej matematycznej definicji i zaczęło z powodzeniem funkcjonować w matematyce czystej i stosowanej.

Miniatura 26. Sofizmaty matematyczne. O podziale odcinka na równe części. Jak znaleźć punkty w nieskończoności?

Pierwszy tekst zawiera przykłady sofizmatów, czyli rozumowań, w których celowo popełniono jakiś błąd, a zadanie polega na tym, żeby go znaleźć, z różnych działów matematyki - arytmetyki, geometrii, rachunku prawdopodobieństwa i logiki. Do wszystkich podano rozwiązania i komentarze. Drugi artykuł poświęcono różnym metodom konstrukcyjnego podziału odcinka na równe części oraz ciągi podziałów pozostające w danych stosunkach. Trzeci artykuł stanowi krok w stronę geometrii płaszczyzny rzutowej, wprowadza jej podstawowe pojęcia takie jak punkt i prosta w nieskończoności oraz dualizm twierdzeń o prostych i punktach.

Miniatura 29. Fraktale w Cinderelli. Przystawanie trójkątów. Iluzje matematyczne i nie tylko.

Pierwszy tekst poświęcony jest chaosowi i fraktalom, a dokładniej ich konstruowaniu w programie graficznym Cinderella (pol. Kopciuszek) za pomocą iteracji odwzorowań afinicznych i inwersji względem okręgu. Pokazano w nim wiele znanych przykładów tak powstających fraktali. W kolejnym tekście pokazano, jak można wykorzystać znane własności przystawania trójkątów do klasyfikacji czworokątów. Ostatni tekst zawiera zarówno przykłady iluzji optycznych jak i sofizmatów matematycznych, czyli rozumowań, w których celowo popełniono jakiś błąd, a zadanie polega na tym, żeby go znaleźć (niestety, uczniom podobne błędy często przydarzają się całkiem niechcący). Sofizmaty dotyczą równań oraz rachunku prawdopodobieństwa.

Miniatura 32. Funkcja kwadratowa. O intuicji, myśleniu i matematyce. Magia okręgu jednostkowego

Pierwszy tekst zawiera powtórzenia podstawowych własności funkcji kwadratowej oraz szereg zadań podzielonych na działy o istnieniu pierwiastków, wykorzystujące wzory Viete'a, o współczynnikach trójmianu kwadratowego oraz zadania optymalizacyjne związane z szukaniem ekstremów. Na końcu zebrano zadania z różnych konkursów matematycznych. W drugim znajdziemy 10 paradoksalnych problemów, które pokazują, jak intuicja czasem pomaga, a częściej nas zwodzi w codziennych sytuacjach oraz jak matematyka pozwala rozstrzygnąć te problemy. Kilka problemów pozostawiono do samodzielnych przemyśleń. Trzeci tekst to zbiór mało znanych własności okręgu w układzie współrzędnych oraz własności trójkąta, których dowodzi się, wykorzystując jednostkowy okrąg weń wpisany lub na nim opisany. Na początku wprowadzono potrzebne w rozumowaniach własności liczb zespolonych i wektorów.

Miniatura 35. Ciągi arytmetyczne i Geometryczne. Styczne do krzywych stożkowych. Analogie między trójkątem i czworościanem

Pierwszy tekst stanowi zbiór zadań poświęconych ciągom arytmetycznym i geometrycznym. Do ich rozwiązania rzadko jednak przydaje się typowa wiedza szkolna o tych ciągach, a raczej niekonwencjonalne pomysły i rozmaite sprytne tricki. Drugi artykuł zawiera definicje krzywych stożkowych i konstrukcje stycznych do tych krzywych, a także informacje o zastosowaniach technicznych opisanych własności. Trzeci tekst przypomina podstawowe własności trójkąta i bada, które z nich mają swoje naturalne uogólnienia dla czworościanu, np. czy symetralne krawędzi, środkowe lub wysokości czworościanu przecinają się w jednym punkcie, czy zachodzą analogie płaskich twierdzeń: Pitagorasa i Menelaosa?

Miniatura 39. Czego brakuje elipsie. Twierdzenie Morleya. Różnice między trójkątem i czworościanem

Książka zawiera trzy artykuły z geometrii, dotyczące zaawansowanej planimetrii i stereometrii (w zakresie wykraczającym poza program nauczania), krzywych stożkowych, czyli elipsy, paraboli i hiperboli oraz geometrii płaskiej powiązanej z trygonometrią. W pierwszym artykule krzywe stożkowe omówienie są z pozycji wiedzy starożytnej. Drugi tekst ma charakter matematycznej ciekawostki. Zawiera pochodzące z XIX wieku twierdzenie Morleya o trójsiecznych kątów trójkąta wraz z trygonometrycznym dowodem. Artykuł trzeci jest kontynuacją tekstu z poprzedniej miniatury licealnej, w której omówiono analogie między trójkątem i czworościanem. Tym razem koncentrujemy się jednak na różnicach między tymi obiektami.

Miniatura 43. Zasada indukcji matematycznej w geometrii. Ciąg Fibonacciego. Logarytmy.

W I części opisano zasadę indukcji matematycznej, a następnie pokazano jej zastosowanie w geometrii do dowodzenie własności n-kątów oraz rozwiązywania zadań o podziale płaszczyzny lub przestrzeni na obszary oraz o kolorowaniu tych obszarów. W II części zebrano informacje i zadania dotyczące własności ciągu Fibonacciego. III część to zbiór zadań dotyczących logarytmów i funkcji logarytmicznej. Nie różni się właściwie od typowych zbiorów zadań szkolnych. Na początku zebrano w tablicy podstawowe prawa działań na logarytmach, a wszystkie zadania opatrzono rozwiązaniami.