Zad. 1. Wykaż, że jeśli liczby dodatnie a, b, c, d spełniają równości a3+b3+c3 = 3d3, b3+c3+d3 = 3a3, c3+d3+a3 = 3b3, to liczby te muszą być równe.
Zad. 2. Na tablicy zapisano słowo abdc. W jednym ruchu możemy dopisać lub usunąć (na początku, końcu lub w środku słowa) palindrom parzystej długości zbudowany z liter a, b, c, d. Czy można w skończonej liczbie ruchów uzyskać słowo bacd?
Zad. 3. Pokaż, że wśród 12 kolejnych liczb naturalnych istnieje taka, która nie jest sumą 10 czwartych potęg liczb całkowitych.
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Załóżmy, że a jest istotnie najmniejszą liczbą (czyli ściśle mniejszą od co najmniej jednej z pozostałych). Wówczas druga równość nie może być spełniona, bo każdy ze składników lewej strony musi być większy od a3, co stanowi sprzeczność. Rozumowanie jest identyczne, gdy a jest istotnie największą liczbą. Podobnie wnioskujemy, że ani d, ani b nie są ani największe, ani najmniejsze. Stąd wynika równość wszystkich czterech liczb.
Zad. 2. Przypiszmy każdej kolejnej literze alfabetu liczbę będącą kolejną potęgą dwójki: a → 1, b → 2, c → 4, d → 8, przy czym literom znajdującym się w słowie na miejscach o numerach parzystych przypisujemy przeciwieństwa wskazanych powyżej liczb. Wartość słowa to suma wartości jego liter, zatem wartość bacd wynosi 2–1+4–8 = -3, a wartość abdc wynosi 1–2+8–4 = 3. Pozostaje przekonać się, że wstawienie lub usunięcie palindromu o długości parzystej nie zmienia wartości słowa. Po pierwsze, litery niezmienione przez dany ruch (niedodane i nieusunięte) przesuwają się o parzystą liczbę miejsc, co nie zmienia ich wartości. Po drugie, w palindromie każda litera ma swój odpowiednik o przeciwnej wartości, co oznacza, że wartość każdego palindromu jest zerem. Skoro więc zaczynamy od słowa o wartości 3, to po wykonaniu dowolnej liczby operacji niezmieniających tej wartości również otrzymamy słowo o wartości 3, a w szczególności nie otrzymamy bacd .
Zad. 3. Kluczowa jest obserwacja, że n4 zawsze przystaje do 0 lub 1 modulo 16. Suma dziesięciu czwartych potęg ma więc z dzielenia przez 16 resztę od 0 do 10, a dwanaście kolejnych liczb się w takim przedziale nie zmieści.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
