Zad. 1. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n niech an = (n+9)!/(n−1)!. Niech k oznacza najmniejszą liczbę, dla której ostatnia niezerowa cyfra liczby ak jest nieparzysta. Jaka jest ostatnia niezerowa cyfra ak?
Zad. 2. Liczbę k nazwiemy sympatyczną, jeśli istnieje liczba naturalna n o dokładnie czterech dzielnikach naturalnych, a dzielniki te sumują się do k. Ile liczb od 2020 do 2029 jest sympatycznych?
Zad. 3. Dane są dwa niemalejące ciągi liczb naturalnych o różnych pierwszych wyrazach. Oba mają taką własność, że każdy wyraz, począwszy od trzeciego, jest sumą dwóch poprzednich. Ponadto siódmym wyrazem obu ciągów jest pewna liczba N. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość tej liczby?
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Mamy an = n(n + 1)…(n + 9).
Wyrażenie an można zapisać w postaci 2^xn·5^yn·rn, gdzie rn nie jest podzielne przez 2 ani 5. Liczba zer na końcu wynosi zn = min(xn, yn). Ostatnia niezerowa cyfra to ostatnia cyfra liczby 2^(xn−zn)·5^(yn−zn )·rn. Oczywiście ostatnia niezerowa cyfra jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy xn − zn > 0, czyli gdy xn > yn. Szukamy więc najmniejszego n takiego, że wykładnik potęgi 5 dzielącej an jest co najmniej równy wykładnikowi potęgi 2 dzielącej an. Liczba an jest iloczynem 10 kolejnych liczb całkowitych. Spośród nich dokładnie 5 jest podzielnych przez 2. Spośród tych 5 co najmniej 2 są podzielne przez 4, a spośród tych 2 jedna jest podzielna przez 8. Zatem xₙ ≥ 5 + 2 + 1 = 8 dla każdego n. Z drugiej strony dokładnie 2 z tych dziesięciu liczb są podzielne przez 5, a co najwyżej jedna z nich może być podzielna przez wyższą potęgę 5. Aby mieć yn ≥ xn ≥ 8, jedna z liczb od n do n + 9 musi być podzielna przez 57 = 78125. Stąd n ≥ 78116. Teraz możemy rozpatrywać liczby zaczynając od 78116 i zapisywać każdą z nich w postaci 2x·5y·r. Szukamy 10 kolejnych liczb, dla których suma wykładników yn będzie co najmniej równa sumie wykładników xn. Okazuje się, że istotnie daleko szukać nie trzeba, bowiem już k=78117 spełnia warunki zadania. Wystarczy obliczyć iloczyn liczb od 78117 do 78126, by otrzymać liczbę o końcówce 900000000.
Zad. 2. Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki wtedy i tylko wtedy, gdy jest iloczynem dwóch liczb pierwszych lub sześcianem liczby pierwszej. Opcja druga nie ma znaczenia dla liczb danych w zadaniu (dlaczego?), pozostaje więc sprawdzić, którą z liczb od 2020 do 2029 da się przedstawić w postaci ab + a + b +1 = (a+1)(b+1) dla pewnych a, b pierwszych. Bez straty ogólności przyjmijmy a<b. Rozważymy dwa przypadki:
- a=2:
- a>2:
Zad. 3. Oznaczmy pierwsze dwa wyrazy pierwszego ciągu przez a, b, a drugiego ciągu przez c, d. Obliczając siódmy wyraz, otrzymamy 5a+8b = 5c+8d. Implikuje to, że a i c mają taką samą resztę z dzielenia przez 8. Aby siódmy wyraz był jak najmniejszy, przyjmijmy bez straty ogólności a=0 i c=8. Z uwagi na monotoniczność drugiego ciągu musi zachodzić d≥8, przyjmijmy więc d=8. Siódmym wyrazem będzie wówczas 104. Łatwo sprawdzić, ile wynosi wówczas b, a także, że wszystkie warunki zadania są spełnione.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
