Zad. 1. Wyznacz trzy ostatnie cyfry zapisu dziesiętnego liczby 202511+202512+...+20252026.
Zad. 2. Udowodnij, że istnieje 2025 kolejnych dodatnich liczb całkowitych, które nie są postaci a2b3, gdzie a i b są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wskazówka: może przydać się chińskie twierdzenie o resztach.
Zad. 3. Asia i Basia grają w następującą grę: na przemian piszą na tablicy cyfry (od lewej do prawej), aż do uzyskania liczby 2025-cyfrowej. Asia wygrywa, jeśli uzyskana liczba będzie mieć dzielnik postaci 17...7 (gdzie liczba siódemek jest równa co najmniej 1). Kto ma strategię wygrywającą w tej grze? Na czym ona polega?
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Mamy 2025 ≡ 25 (mod 1000), a od potęgi
drugiej wzwyż mamy: 25ⁿ ≡ 625 (mod 1000). Szukana suma obejmuje potęgi od 11 do
2026, czyli 2016 wyrazów po 625 każdy, a 2016 · 625 to wielokrotność 1000,
bowiem 2016 jest podzielne przez 24. Zatem ostatnie trzy cyfry
zadanej sumy to 000.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
