Zad. 1. Rozważmy półokrąg o środku M i średnicy AB. Niech P będzie punktem na półokręgu różnym od A i B, a Q środkiem łuku AP. Narysujmy prostą równoległą do PQ przechodzącą przez M i oznaczmy punkt jej przecięcia z prostą BP przez S. Wykaż, że PM = PS.
Zad. 2. Niech ABCDEF będzie sześciokątem foremnym. Na przekątnych BD, DF obieramy takie punkty P i Q, by długości odcinków BD i DQ były równe długości boku sześciokąta. Wykaż, że punkty C, P i Q są współliniowe.
Zad. 3. Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD. Niech M będzie środkiem ramienia prostopadłego do podstaw, a także niech długość drugiego ramienia będzie sumą długości podstaw trapezu. Wykaż, że pewne dwa spośród odcinków MA, MB, MC i MD są prostopadłe.
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Najpierw zauważmy, że |∡PSM|=180°−|∡QPB|, ponieważ kąty między PS, a PQ i MS (które są równoległe) są przystające. Z twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg dla punktów A, B, P, Q otrzymujemy 180°−|∡QPB| = |∡BAQ| = |∡MAQ|. Z drugiej strony |∡PMS| = |∡MPQ|, ponieważ MS i PQ są równoległe. Jednocześnie widzimy, że |∡MPQ| = |∡MAQ|, ponieważ punkty A i P są symetryczne względem prostej MQ. Zatem |∡PSM| = |∡PMS|. To oznacza, że odcinki PM i PS są równej długości.
Zad. 2. Kąty wewnętrzne sześciokąta foremnego mają po 120°. Trójkąt DEF jest równoramienny, więc kąty DFE i EDF mają po 30°. Stąd wynika, że kąt QDC jest prosty. Ponieważ trójkąt QDC też jest równoramienny (|DQ|=|DC|), więc kąt DCQ ma miarę 45°. Trójkąt CBP jest również równoramienny i podobnie jak wyżej otrzymujemy, że kąty CBP i CBD mają miarę 30°. Stąd kąt PCB ma miarę (180−30)/2 = 75°. Ostatecznie mamy |∡DCP| = 120−75 = 45°. Ponieważ kąty DCQ i DCP są równej miary, więc punkty C, P i Q leżą na jednej prostej.
Zad. 3. Niech N będzie środkiem odcinka BC. Wtedy odcinek MN jest równoległy do AB i CD. Ponadto |MN|=(|AB|+|CD|)/2=|BC|/2. Z tego wynika, że punkty B, M i C leżą na okręgu o środku w punkcie N. Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy otrzymujemy, że kąt CMB jest prosty.
