Zad. 1. Wszystkie liczby naturalne od 1 do 2025 zapisano w systemie trójkowym. Ile jest wśród nich palindromów?
Zad. 2. Każdemu wierzchołkowi ośmiokąta foremnego ABCDEFGH, a także jego środkowi symetrii S, przypisujemy liczbę naturalną od 1 do 9. Na ile sposobów można to zrobić w taki sposób, by napisane liczby były różne, a także suma liczb na każdej osi symetrii będącej przekątną była taka sama?
Zad. 3. Zadanie polega na ułożeniu liczb naturalnych od 1 do 10 w takiej kolejności, aby (niekoniecznie bezpośrednio) przed każdą liczbą (oprócz pierwszej) znalazł się jej sąsiad (czyli liczba różniąca się o 1). Na ile sposobów można rozwiązać to zadanie?
Wyniki:
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Odpowiedzi:
Zad. 1. Mamy 202510=22100003. Szukamy więc palindromów trójkowych o długości nieprzekraczającej siedmiu. Mogą one mieć postać: a, aa, aba, abba, abcba, abccba, abcdcba, gdzie a∈{1,2}, natomiast b,c,d∈{0,1,2}. Należy jednak pamiętać, że niektóre palindromy o długości siedem mogą być zbyt duże i trzeba je wykluczyć. Dla długości nie większych niż sześć liczba palindromów wynosi 2+2+2⋅3+2⋅3+2⋅3⋅3+2⋅3⋅3=52.
Teraz rozważymy palindromy o długości siedem.
• Wszystkie palindromy z a=1 są mniejsze niż 22100003, zatem otrzymujemy 3⋅3⋅3=27 palindromów.
• Wszystkie palindromy z a=2, b=0 lub b=1 są mniejsze niż 22100003. Daje to 2⋅3⋅3=18 palindromów.
• Dla a=2, b=2, c=0 pozostają jeszcze 3 palindromy (d dowolne).
• Natomiast dla a=2, b=2, c>0 wszystkie palindromy są większe niż 22100003 i należy je odrzucić.
Łącznie dla długości 7 mamy 27+18+3=48 palindromów. Łączna liczba wszystkich palindromów wynosi zatem 52+48=100.
Zad. 2. Z warunków zadania wynika, że liczby przy przeciwległych wierzchołkach muszą sumować się do tej samej wartości, a więc środkowi symetrii ośmiokąta przypisano liczbę 5. Zauważamy, że gdy przypiszemy liczby wierzchołkom A, B, C, D, to dla pozostałych wierzchołków nie będziemy już mieć wyboru, ponieważ ich wartości są wyznaczone przez wymóg stałej sumy na osiach symetrii. Jest więc 8⋅7⋅6⋅5=1680 możliwości przypisania liczb do wierzchołków tego ośmiokąta.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
