Zad. 1. Liczbę naturalną nazywamy wesołą, gdy suma jej dzielników pomnożona przez liczbę jej dzielników da 96. Ile jest liczb wesołych?
Zad. 2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, które posiadają dwa dzielniki równo odległe od n/3.
Zad. 3. Znajdź wszystkie takie liczby naturalne, które po podzieleniu przez 17 i przez 20 mają taką samą część całkowitą.
W tym miesiącu za nadesłane rozwiązania punktów nie przyznano.
Zad. 1. Są to: 14, 15, 47. Oznaczmy sumę dzielników liczby n przez s(n), a liczbę jej dzielników przez d(n). Zauważmy, że 1 nie spełnia warunków zadania, a pozostałe liczby naturalne mają co najmniej dwa dzielniki. Oznacza to, że gdy d(n)=2, czyli n jest pierwsza, musi zachodzić n≤47 (a jednocześnie s(n)=1+n, więc jedyną wesołą liczbą pierwszą jest 47). Jeśli d(n)=3, czyli n jest kwadratem liczby pierwszej, liczba n nie przekracza 29 (najmniejszy potencjalnie możliwy zestaw dzielników to 1, 2, n) – z łatwością sprawdzamy, że żaden kwadrat nie jest wesoły. Gdy d(n)≥4, mamy 24≥s(n)≥1+2+3+n, a więc n≤18. Pozostaje więc sprawdzić liczby: 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, spośród których wesołe są 14 i 15.
Zad. 2. Są to wielokrotności szóstki. Jako że najmniejszymi możliwymi dzielnikami liczby n są 1, 2 i 3, największymi możliwymi dzielnikami są n, n/2 i n/3. Ponieważ nie może istnieć dzielnik o tej samej odległości od n/3, co n, większym z dwóch dzielników musi być n/2. Oznacza to, że drugi dzielnik z pary to n/6. Oznacza to, że n musi być podzielna przez 6. Jest to oczywiście także warunek wystarczający.
Zad. 3. Podzielmy pewną liczbę naturalną n z resztą przez 17 i 20, tzn. dla naturalnych a, b, c, d zapiszmy n=17a+b=20c+d, przy czym b<17 i d<20. Warunki zadania mówią, że a=c, czyli 17a+b=20a+d, a więc b−d=3a. Musimy więc policzyć, ile jest par liczb naturalnych spełniających warunki b<17, d<20, 3|(b−d). Zauważmy, że dla d równego 0, 1 lub 2 jest tylko jedno takie b; dla d równego 3, 4 lub 5 istnieją już dwe możliwości, itd. Ostatecznie mamy 1·3+2·3+3·3+4·3+5·3+6·2=57 możliwości.
